Pythagoræiske talsæt

Talsættet (3, 4, 5) er et eksempel på et pythagoræisk talsæt, idet 32 + 42 = 52.

Et pythagoræisk talsæt (m, n, q) består af positive hele tal, hvor m2 + n2 = q2

Da m2 + n2 = q2 er ensbetydende med at (m/q)2 + (n/q)2 = 1, fås umiddelbart følgende

Sætning
Et talsæt (m, n, q) bestående af positive hele tal er et pythagoræisk talsæt netop når punktet (m/q, n/q) tilhører enhedscirklen.

Af sætningen fås let, at hvis et punkt på enhedscirklen har positive rationale koordinater, så er koordinaterne bestemt ved et pythagoræisk talsæt.

Programmet nedenunder bestemmer de pythagoræiske talsæt, og afsætter de tilsvarende punkter i et koordinatsystem (plus de punkter der fremkommer ved at spejle i akserne). Programmet illustrerer, at der er uendelig mange pythagoræiske talsæt, og at de tilsvarende punkter ligger tæt på enhedscirklen.

Tryk på Kør for at starte programmet.

Efterfølgende tryk på Kør stopper/fortsætter beregningen.

Tryk på Slet under kørslen for at slette de afsatte punkter, men uden at starte forfra med beregningerne.

Tryk på Init for at starte helt forfra.

De punkter vi sletter, bliver tegnet op igen, fordi ethvert pythagoræisk talsæt giver anledning til uendelig mange pythagoræiske talsæt, som alle afsættes i det samme punkt på enhedscirklen. Dette skyldes, at hvis ( m, n, q ) er et pythagoræisk talsæt, så er ( pm, pn, pq ) også et pythagoræisk talsæt for ethvert naturligt tal p.

Programmet beregner de pythagoræiske talsæt ved hjælp af en klassisk formel, som ser således ud:

(2mn, m2-n2, m2+n2 ) hvor m og n er naturlige tal og m > n.

Formlen kan afprøves nedenunder. Tallene m og n står i felterne til venstre, og de ændres systematisk, når du trykker på Næste.

Inden vi udleder formlen, gentager vi, at det at bestemme pythagoræiske talsæt er ækvivalent med at bestemme punkter med rationale koordinater på enhedscirklen.

Lad nu (x,y) være et vilkårligt punkt på enhedscirklen (i 1. kvadrant), og lad linjen gennem (-1,0) og (x,y) have hældningskoefficienten a. Så gælder


Af beviset fremgår også, at punkterne med rationale koordinater ligger tæt på cirklen.

Bearbejdelse efter pmh